Petits échantillons ( n < 30 )

2.1 - Estimation de la moyenne d'une population normale d'écart type connu.

Xi - Zcs /n1/2 < µ < Xi - Zcs /n1/2

ou : µ = Xi +/- Zcs /n1/2

2.2 - Estimation de la moyenne d'une population normale d'écart-type inconnu. TEST DE STUDENT.STUDENT est le pseudonyme de William Sealy Gosset (1876-1937), statisticien anglais qui a inventé le test de Student.

Exemple. Une machine produit des tôles d'épaisseur 0,050cm. Désirant déterminer si cette machine fonctionne normalement, on analyse un échantillon de 10 tôles. On trouve X=0,053cm et s=0,003cm. Peut-on en déduire, au seuil de signification de 0,05, que la machine fonctionne correctement ?

t = (X-µ)(n-1)1/2/s = (X-µ)/(s*/n1/2)

On peut, comme pour les grands échantillons, définir pour t des intervalles de confiance unilatéraux ou bilatéraux selon les besoins.

Considérons le cas d'une estimation par intervalle de confiance (test bilatéral).

- tn1-a/2 < t < tn1-a/2

D'où : µ = X +/- tn1-a/2 s/(n-1)1/2

REMARQUES :

  1. la méthode d'estimation de m est la même que pour les grands échantillons excepté qu'il faut utiliser la distribution de STUDENT au lieu de la distribution normale. Le paramètre t joue le rôle du Zc de la loi normale.
  2. attention, la règle de définition de t dans les tables est différente de celle des Zc définis, dans le cas de la loi normale, pour des intervalles de confiance bilatéraux.
  3. lors de tests de comparaison, on pourra, comme pour les grands échantillons, mettre en oeuvre des tests bilatéraux.

2.3 - Estimation de l'écart-type d'une population normale. TEST DU KHI DEUX (c2) Appelé aussi "test du KHI2 de Pearson, du nom de Karl PEARSON(1857-1936), mathématicien britannique fondateur des statistiques modernes.

 Exemple. L'écart type de durée de vie d'un échantillon de 20 d'appareils ménagers est de 100 heures. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, pour l'écart type de la production de ces ampoules.

Distributions de Pearson ou du "Khi deux" en fonction de n.

Intervalle de confiance unilatéral.

3 - Raccordement d'une distribution expérimentale avec une distribution théorique. TEST DU KHI DEUX (c2)

On désire vérifier la perfection d'un dé ; sur un essai de 300 jets on obtient :

Xi

1

2

3

4

5

6

ni

40

49

72

50

42

47

Au seuil de signification de 0,01 peut on dire que le dé comporte une malfaçon (est truqué)?